На склад поступают изделия, изготовленные на трех станках,
среди них половина изготовлена на первом станке,
На склад поступают изделия, изготовленные на трех станках,
среди них половина изготовлена на первом станке, треть на втором, остальные
– на третьем. Вероятность брака для изделий, изготовленных на первом станке,
равна 0,1, на втором – 0,2 и на третьем – 0,25. а) Найти вероятность брака для
произвольного изделия. б) Найти вероятность того, что бракованное изделие
изготовлено на первом станке. в) Найти вероятность того, что годное изделие
изготовлено на первом станке.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть ( P_1 ) – вероятность того, что произвольное изделие изготовлено на первом станке, ( P_2 ) – на втором, ( P_3 ) – на третьем. Тогда вероятность брака для произвольного изделия равна:
[ P = P_1 \cdot 0.1 + P_2 \cdot 0.2 + P_3 \cdot 0.25 ]

Из условия известно, что изделий, изготовленных на первом станке, половина, на втором – треть, на третьем – шесть из двенадцати (половина + треть = 6/12 + 4/12 = 10/12).
Таким образом,
[ P_1 = \frac{1}{2}, P_2 = \frac{1}{3}, P_3 = \frac{1}{6} ]

Подставляем в формулу:
[ P = \frac{1}{2} \cdot 0.1 + \frac{1}{3} \cdot 0.2 + \frac{1}{6} \cdot 0.25 = \frac{1}{20} + \frac{2}{30} + \frac{1}{24} = \frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} = \frac{3}{40} + \frac{6}{40} + \frac{5}{120} = \frac{14}{120} = \frac{7}{60} ]

Ответ: вероятность брака для произвольного изделия равна ( \frac{7}{60} ).

б) Вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на первом станке:
[ P(\text{брак на первом}) = \frac{P_1 \cdot 0.1}{P} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 0.1}{\frac{7}{60}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 0.1}{\frac{7}{60}} = \frac{1}{20} \cdot \frac{60}{7} = \frac{3}{7} ]

Ответ: вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на первом станке равна ( \frac{3}{7} ).

в) Вероятность того, что годное изделие изготовлено на первом станке равна:
[ P(\text{годное на первом}) = \frac{P_1 \cdot (1-0.1)}{1-P} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 0.9}{1 - \frac{7}{60}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{60}{53} = \frac{27}{53} ]

Ответ: вероятность того, что годное изделие изготовлено на первом станке равна ( \frac{27}{53} ).