Окружность. Определить длину отрезка. Окружность, проходящая через точки T и R, пересекает стороны QR и QT треугольника QRT в точках М и N соответсвенно. Известно, что QN = 35, сторона TR в 1,75 раза меньше стороны QR. Определите длину MN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку окружность проходит через точки T и R, то углы QTR и QRT являются вписанными, а значит угол QTR равен углу QRT. Следовательно, треугольник QTR равнобедренный.

Пусть QR = x, TR = 1,75x. Так как треугольник QTR равнобедренный, то угол QTR = угол TRQ, а также угол QTR + угол TRQ = 180 градусов. Таким образом, угол QTR = угол TRQ = (180 - угол QRT) / 2 = 90 - угол QRT / 2.

Так же, в треугольнике QTN угол QTN = 180 - угол NQT - угол QTN = 180 - угол NQT - (180 - угол TQR) / 2 = угол NQT - угол TQR / 2 = угол TRQ - угол TQR / 2 = угол TQR / 2.

Из угловой фигуры QTNM видно, что угол QTN = угол QNM, а угол QNT = угол QTM. Значит, треугольники QNT и MTQ равны с углом QNT = QTM = 1,75 тангенс угла QTR = 1,75 тангенс (180 - 2 * угла QTR).

По теореме синусов отношение сторон QT / MN = синус (тангенс угла QNT) / синус угла QTN. Следовательно, MN = QT синус угла QTN / синус угла QNT = 35 sin ((90 - arctan (1,75 tan (90 - arctan ((x - 1,75x) / x))))) / sin (arctan (1,75 tan (90 - arctan ((x - 1,75x) / x)))).

Подставляя данные в это равенство, можно вычислить длину MN.