В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат со стороной 4 корня из 3. Точки M и N - середины ребер AB и AD соответственно. Найти угол между плоскостями (MC1N) и (ABC), если AA1= 9 корней из 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны квадрата ABCD через а, т.е. а = 4√3. Так как точки M и N - середины ребер AB и AD соответственно, то AM = BN = a/2 = 2√3.

Так как AA1 = 9√2, то AD = 2 * AA1 = 18√2.

Из прямоугольного треугольника ADN находим DN = 9√2, так как AN = 2√3 и AD = 18√2.

Из этого имеем, что MN = DN - AM = 9√2 - 2√3.

Теперь посчитаем угол между векторами MC1 и MN. Для этого найдем координаты векторов, перенесенных в начало координат:

Вектор MC1 = (C1C) + (C1M) = (0, 2√3) + (2√3, 0) = (2√3, 2√3).

Вектор MN = (0, 9√2 - 2√3) - (0, 2√3) = (0, 9√2 - 4√3).

Теперь найдем скалярное произведение векторов: (MC1, MN) = 2√3 0 + 2√3 (9√2 - 4√3) = 36.

Длина векторов равна: |MC1| = |MN| = √( (2√3)^2 + (2√3)^2) = 2*2√3 = 4√3.

Теперь найдем косинус угла между векторами: cos(α) = (MC1, MN) / (|MC1| |MN|) = 36 / (4√3 4√3) = 36 / 48 = 3 / 4.

Итак, угол α между плоскостями (MC1N) и (ABC) равен arccos(3/4) ≈ 41.41 градусов.