Как это доказать? Как доказать, что существуют только 4 таких n(1,23,24,25), что n! имеет длину ровно n цифр?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы это доказать, нужно рассмотреть общую формулу для количества цифр в факториале n!.

Количество цифр в числе можно оценить по формуле:
$d = \lfloor \log_{10} n! \rfloor + 1$,

где $d$ - количество цифр, $\lfloor x \rfloor$ - целая часть числа $x$.

Можно заметить, что если $n<10$, то $n!$ будет содержать как минимум одну цифру, иначе $n!$ будет содержать хотя бы две цифры. Также можно заметить, что для $n \geq 10$ количество цифр в $n!$ будет увеличиваться быстрее, чем линейно.

Теперь рассмотрим, как изменяется количество цифр при увеличении значения $n$:

Таким образом, можно заметить, что для всех $n \geq 13$ количество цифр в $n!$ будет превышать $n$. Следовательно, единственные значения $n$, для которых $n!$ будет иметь длину ровно $n$ цифр, это $n=1,2,3,4$.