Геометрия. Объем призмы Основанием прямой призмы является ромб с углом
60°. Большая ее диагональ равна 12 см и наклонена к основанию под углом 45°
Вычислите объем призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину меньшей диагонали ромба. Поскольку у нас известен угол между большой диагональю и основанием (45°), угол между меньшей диагональю и основанием будет 90° (так как диагонали ромба перпендикулярны друг другу). Теперь мы имеем прямоугольный треугольник с катетами в 6 см и 6√3 см (половина большей диагонали), из чего следует, что меньшая диагональ ромба с равна 6√3 см.

Теперь рассмотрим высоту призмы, которая равна расстоянию от вершины ромба до его основания. Разделим ромб на два равнобедренных треугольника, имеющих в качестве катетов большую диагональ и меньшую диагональ. Будем иметь дело с треугольником, у которого катеты 6 см и 6√3 см. Поскольку угол между диагоналями 60°, то противоположный большей диагонали катет треугольника равен 6√3/√3 = 2√3 см. Тогда высота призмы равна 2√3 см.

Теперь можем вычислить объем призмы:

V = S * h,

где S - площадь основания, равная половине произведения диагоналей ромба (1/2 12 6√3 = 36√3 см^2), h - высота призмы (2√3 см). Подставляем известные значения и находим объем:

V = 36√3 2√3 = 72 3 = 216 см^3.

Ответ: объем призмы равен 216 кубическим сантиметрам.