Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС. Докажите, что АВ - биссектриса угла ВАС. .....
С рисунком желательно 1. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС. Докажите, что АВ - биссектриса угла ВАС.
2. Из точки А к окружности с центром О проведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Найдите радиус окружности, если ОА = 10 см.
3. Из точки А к окружности проведены две касательные. Найдите угол между ними, если расстояние от А до точки касания равно радиусу окружности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку AB и AC - касательные к окружности, то они перпендикулярны радиусу, проведенному в точке касания. Таким образом, угол BAO = угол OAC.
Также, по свойству касательных, угол BAO и угол CAO - прямые углы.
Из этих двух фактов следует, что угол BAC делится пополам линией АО, следовательно, AB - биссектриса угла ВАС.

Поскольку угол между касательными равен 60°, то мы можем построить равносторонний треугольник ОАВ, где угол ВОА = 60°. Тогда, по свойствам равностороннего треугольника, угол ВАО = угол АОВ = 60°.
Таким образом, треугольник ОАВ является равносторонним, а значит, радиус окружности равен 10 см.

Поскольку расстояние от точки касания до точки А равно радиусу окружности, то треугольник ОАС является равнобедренным, где ОС = ОА.
Тогда угол ОАС = угол ОСА. Поскольку дополнительный угол к углу ОСА равен углу САО (прямой угол), то угол между касательными равен ОСА + САО = 2*угол ОСА.
Значит, угол между касательными равен 90°.