Концы отрезка, длина которого равна 10 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Углы, которые образует отрезок с данными плоскостями, равны 45° и 30°. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину основания перпендикуляра, опущенного из одного конца отрезка на линию пересечения плоскостей, через h1, а из другого конца отрезка - через h2.

Так как угол между отрезком и первой плоскостью равен 45°, то угол между основанием перпендикуляра и линией пересечения плоскостей будет также равен 45°. Аналогично для второй плоскости угол будет равен 30°.

Теперь можем записать три треугольника: прямоугольные ABC и AED, где AC = BD = 10 см, угол BAC = 45°, угол BAD = 30°, AD = AE = h1, BC = DE = h2. Из условия задачи следует, что CD = h1+h2.

Теперь применим тригонометрические функции:

В треугольнике ABC:
cos(45°) = h1/10
В треугольнике AED:
cos(30°) = h2/10
Но мы знаем, что h1 + h2 = CD = 10cos(45°) + 10cos(30°) = 10(√2/2 + √3/2) = 10(√2 + √3)/2.

Итак, расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей, равно 10*(√2 + √3)/2 см.