1) Найти промежутки монотонности функции и точки экстремума функции а)у=2+х/(х+1^2) ; б) у=1+2х/х^2-9 ; в)у=(х+1)*e^-x ; г)у=(х+5)*e^-
2) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции а) у=х^2/х+1 ; б)у=-2/(х+1)^2; в)у=х*e^-3x; г)у=(х-2)*e^
3)исследовать функцию и построить график а)f(x)=2/3 х^3+4/^2-10 б)f(x)=-1/3 х^3-2x^2+4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1
а) Функция у=2+х/(х+1)^
Найдем производную функции: у' = (х+1)^2 - 2х(х+1)/(х+1)^4 = (х+1)^2 - 2х/(х+1)^
Производная равна 0 при х=-
Точка х=-1 - точка экстремума. Проверим знак производной слева и справа от точки
При х< -1: у'(х) = (х+1)^2 - 2х/(х+1)^3 < 0, следовательно, функция убывает на (-∞, -1
При х> -1: у'(х) = (х+1)^2 - 2х/(х+1)^3 > 0, следовательно, функция возрастает на (-1, +∞)

б) Функция у=1+2х/(х^2-9
У функции нет точек экстремума, так как в знаменателе необходимого многочлена нет корней.

в) Функция у=(х+1)e^-
Находим производную функции: у' = e^-x (1-x
Производная равна 0 при х=
Точка х=1 - точка экстремума. Проверим знак производной слева и справа от точки
При х< 1: у'(х) = e^-x (1-x) < 0, следовательно, функция убывает на (-∞, 1
При х> 1: у'(х) = e^-x (1-x) > 0, следовательно, функция возрастает на (1, +∞)

г) Функция у=(х+5)e^-
Находим производную функции: у' = e^-2 (1-x
Производная равна 0 при х=
Точка х=5 - точка экстремума. Проверим знак производной слева и справа от точки
При х< 5: у'(х) = e^-2 (1-x) < 0, следовательно, функция убывает на (-∞, 5
При х> 5: у'(х) = e^-2 (1-x) > 0, следовательно, функция возрастает на (5, +∞)

2
а) Функция у=х^2/(х+1
Найдем вторую производную функции: у'' = (2х(х+1)-(х^2))/(х+1)^2 = (х(х-1))/(х+1)^
Уравнение у''=0 не имеет корне
Точек перегиба нет. Для нахождения промежутков выпуклости нужно изучить изменение второй производной.

б) Функция у=-2/(х+1)^
Вторая производная равна 4/(х+1)^
Точек перегиба нет. Функция является выпуклой на всей оси.

в) Функция у=хe^-3
Найдем вторую производную функции: у'' = (2е^(-3х)-9*xe^(-3х))/(е^(-3х))^2 = 2е^(-3х)-9хе^(-3х
Решим у'' = 0: 2е^(-3х)-9хе^(-3х) = 0 => е^(-3х)(2-9х) = 0 => 2-9х=0 => х=2/
Точка х=2/9 - точка перегиба

г) Функция у=(х-2)*е^
Найдем вторую производную функции: у'' = (е^x-(х-2)е^x = e^x(1-х+2) = e^x(3-х
Решим у'' = 0: e^x(3-х) = 0 => 3-х=0 => х=
Точка х=3 - точка перегиба

3
а) Функция f(x)=2/3x^3+4/x^2-1
Исследуем функцию
Найдем производные
f'(x) = 2x^2+8/x^
f''(x) = 4x-24/x^
f'''(x) = 4+96/x^
f''''(x) = -480/x^6

Так как f''(x) меняет знак при x=√6, то у функции точка перегиба в этой точке
Построим график функции на компьютере или в онлайн-приложении.

б) Функция f(x)=-1/3x^3-2x^2+
Исследуем функцию
Найдем производные
f'(x) = -x^2-4
f''(x) = -2x-4

Решим уравнение f''(x)=0
-2x-4=0 => x=-
Это точка перегиба фунцкии
Построим график функции на компьютере или в онлайн-приложении.