Задача по планиметрии. Расстояние между центрами квадратов На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка L - середина отрезка DK, CL = AB/2. Найдите расстояние между центрами квадратов, если AC равен двум корням из двух, BC равен трём корням из шести и угол ACB равен шестидесяти градусам

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через O1 и O2 центры квадратов ACDE и BFKC соответственно. Также обозначим через M точку пересечения прямых AB и CK.

Так как CL = AB/2, то треугольник CAB равнобедренный, следовательно, угол C равен 90 градусов. Значит, треугольник ABC - прямоугольный.

Теперь посмотрим на треугольник ALD. Так как L - середина отрезка DK и CL перпендикулярна DK, то AL = LD.

Так как DAC и DAH прямоугольные треугольники с общими катетами AC и AD, то DACH - квадрат. То же самое можно сказать и про CBLK.

Из полученных квадратов видим, что O1 - центр квадрата подобного DAC и DACH' (где H' - точка, диаметрально противоположная D), O2 - центр квадрата подобного LCB и CBLK'. Значит, O1O2 = DK.

Теперь нам осталось только найти длину отрезка DK. Для этого заметим, что AMC - прямоугольный треугольник, так как угол C прямой. Поэтому AM = AC/2 = √2, MC = BC/2 = √6/2. Из прямоугольного треугольника AMC, в котором известно AM, MC и угол MAC = 60 градусов, можем найти длину DK:

DK = 2 MC cos(60) = 2 √6/2 1/2 = √6/2.

Итак, расстояние между центрами квадратов O1 и O2 равно √6/2.