Задача по планиметрии. Расстояние между центрами квадратов На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка L - середина отрезка DK. Найдите расстояние между центрами квадратов, если AC равен двум корням из двух, BC равен трём корням из шести и угол ACB равен шестидесяти градусам

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через O и O' центры квадратов ACDE и BFKC соответственно. Так как DK параллелен BC и AL является средней линией треугольника DKL, то OL = AK/2 = AK = AO (так как треугольник AOK равнобедренный). Аналогично, OL = BO'. Таким образом, треугольник OLO' - равносторонний.

Поскольку O и O' - центры квадратов, то O и O' являются серединами сторон AD и FK соответственно.

Теперь обозначим через M и N центры квадратов ACBD и BFKC соответственно. Так как трапеция ACMN - прямоугольная (угол ACB равен 60 градусам), то MN = AC - BC = (2√2) - (3√6).

Но NM = MO - NO = 2OL - 2O'L = 2OL(1 - √3) = 3√2(1 - √3). Таким образом, расстояние между O и O' равно 3√2(1 - √3) = 3(√2 - √6).

Итак, расстояние между центрами квадратов O и O' равно 3(√2 - √6).