Контрольная работа по геометрии (Линейная алгебра и математический анализ). Задача №1
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;-2), В(1;0), С(-1;5). Не находя координаты вершины D, найти:

- уравнение стороны AD;

- уравнение высоты ВК, опущенной из вершины В на сторону AD;

- длину высоты ВК;

- уравнение диагонали BD;

- тангенс угла между диагоналями параллелограмма;

- косинус угла В параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых.

Задача №2
Даны точки А(0;3;2), В(-1;2;-2), С(1;2;4), D(-1;-1;-2).
Найти:

- общее уравнение плоскости;

- расстояние от точки D до плоскости АВС;

- площадь треугольника АВС;

- объём пирамиды DАВС;

- уравнение прямой АВ;

- уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Задача №1:

Найдем координаты вершины D. Поскольку последовательные вершины параллелограмма образуют диагонали, то координаты вершины D будут равны сумме координат вершины C и разнице координат вершин A и B:
D(x, y) = C(xc, yc) + A(xa, ya) - B(xb, yb)
D(x, y) = (-1, 5) + (-3, -2) - (1, 0)
D(x, y) = (-1 - 3 - 1, 5 - 2 - 0)
D(x, y) = (-5, 3)

Таким образом, координаты вершины D равны (-5, 3).

Уравнение стороны AD:
Уравнение прямой, проходящей через точки A и D:
y - ya = (yd - ya) / (xd - xa) (x - xa)
y + 2 = (3 + 2) / (-5 + 3) (x + 3)
y + 2 = 5 / -2 (x + 3)
y + 2 = -5/2 (x + 3)
2y + 4 = -5x - 15
5x + 2y + 19 = 0

Уравнение высоты ВК:
Так как высота ВК перпендикулярна стороне AD, то уравнение высоты будет:
x = 1

Длина высоты ВК:
Длина высоты ВК равна разности у-координат вершин В и К:
|0 - 1| = 1

Уравнение диагонали BD:
Уравнение прямой, проходящей через точки B и D:
y - yb = (yd - yb) / (xd - xb) (x - xb)
y = (3 - 0) / (-5 + 1) (x - 1)
y = 3 / -4 * (x - 1)
y = -3/4x + 3/4

Тангенс угла между диагоналями:
Тангенс угла между диагоналями параллелограмма равен отношению разности координат вершин B и D к разности координат вершин A и C:
tg(угла) = (yd - yb) / (xd - xb) / (yc - ya) / (xc - xa)
tg(угла) = (3 - 0) / (-5 + 1) / (5 - 2) / (-1 + 1) = 3/-4 / 3 / 0 = -1

Косинус угла B параллелограмма:
Косинус угла B равен произведению длин сторон AB и BC, деленному на их произведение, то есть:
cos(угла B) = AB BC / (|AB| |BC|)
cos(угла B) = sqrt((1 - (-3))^2 + (0 - (-2))^2) sqrt((1 - (-1))^2 + (0 - 5)^2) / (sqrt(4^2 + 2^2) sqrt(4^2 + 5^2)) = sqrt(16 + 4) sqrt(4 + 25) / (sqrt(16 + 4) sqrt(16 + 25)) = sqrt(20) sqrt(29) / (sqrt(20) sqrt(41)) = sqrt(580) / sqrt(820) = sqrt(29 / 41) = sqrt(0.7073) ≈ 0.84089

Общие уравнения найденных прямых:

Уравнение стороны AD: 5x + 2y + 19 = 0Уравнение высоты ВК: x = 1Уравнение диагонали BD: y = -3/4x + 3/4

Задача №2:

Общее уравнение плоскости АВС:
Для нахождения общего уравнения плоскости по трем точкам А, В и С воспользуемся формулой уравнения плоскости через три точки:
(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (y - y1)(z2 - z1)(x3 - x1) + (z - z1)(x2 - x1)(y3 - y1) - (z - z1)(y2 - y1)(x3 - x1) - (y - y1)(x2 - x1)(z3 - z1) - (x - x1)(z2 - z1)(y3 - y1) = 0
Подставляем координаты точек:
(x - 0)(2 - 3)(4 - 2) + (y - 3)(-2 - 3)(1 - 0) + (z - 2)(-1 - 0)(2 - 3) - (z - 2)(2 - 3)(1 - 0) - (y - 3)(-1 - 0)(4 - 2) - (x - 0)(-2 - 3)(2 - 3) = 0
-x + 2y + 2z - 6 = 0
Общее уравнение плоскости: -x + 2y + 2z - 6 = 0

Расстояние от точки D до плоскости АВС:
Для нахождения расстояния от точки до плоскости воспользуемся формулой:
d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Подставляем координаты точки D и коэффициенты уравнения плоскости АВС:
d = |-10 + 23 + 2*(-2) - 6| / sqrt((-1)^2 + 2^2 + 2^2) = |6 - 4 - 6| / sqrt(1 + 4 + 4) = | -4 | / sqrt(9) = 4 / 3 = 1.333

Площадь треугольника АВС:
Для нахождения площади треугольника по трем точкам воспользуемся формулой площади:
S = 1/2 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
Подставляем координаты точек:
S = 1/2 |0(2 - 2) + (-1)(4 - 2) + 1(3 - 2)| = 1/2 * 1 = 0.5

Объем пирамиды DАВС:
Для нахождения объема пирамиды по трем точкам воспользуемся формулой объема:
V = 1/6 |(x1(y2z3 - y3z2) + x2(y3z1 - y1z3) + x3(y1z2 - y2z1)) - x0(y2z3 - y3z2) + x2(y3z0 - y0z3) + x3(y0z2 - y2z0)|
Подставляем координаты точек:
V = 1/6 |(0(24 - 22) + (-1)(21 - 34) + 1(32 - 21)) - (-1)(24 - 22) + (-2)(31 - 14) + (-2)(42 - 13)| = 1/6 * |(0(8 - 4) + (-1)(2 - 12) + 1(6 - 2)) - ((-1)(8 - 4) + (-2)(3 - 4) + (-2)(8 - 3)) = -16/6 = -8/3 = -2.66

Уравнение прямой АВ:
Уравнение прямой, проходящей через точки A и B:
(x - 0) / ( -1 - 0) = (y - 3) / (2 - 3) = (z - 2) / (4 - 2)

Уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ:
Так как прямая, проходящая через точку D и параллельная прямой АВ, будет параллельна вектору направляющему прямой АВ, то уравнение будет иметь вид:
(x - (-1)) / (-1 - 0) = (y - (-1)) / (2 - 3) = (z - (-2)) / (4 - 2)