Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы
и меньшего катета – 27 см. далее. К окружности с центром ? проведена касательная ?? (? – точка касания).
Найдите отрезок ??, если радиус окружности равен 13см и ∠??? = 30°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину меньшего катета прямоугольного треугольника.

Пусть a - меньший катет, b - больший катет, c - гипотенуза.

Так как один из углов треугольника равен 30°, то мы имеем дело с 30-60-90 треугольником. В таком треугольнике соотношение сторон равно:

a : b : c = 1 : √3 : 2

Так как сумма гипотенузы и меньшего катета равна 27, то:

a + c = 27

Таким образом, a + 2a√3 = 27, a(1 + 2√3) = 27, a = 27 / (1 + 2√3) ≈ 7.210.

Теперь по теореме Пифагора найдем длину большего катета:

b = √(c² - a²) = √(27² - 7.21²) ≈ √(729 - 52.067) ≈ √676.933 ≈ 26 см.

Теперь найдем длину отрезка касательной от точки касания до точки касания на окружности.

Так как угол между касательной и радиусом окружности равен 90°, то мы имеем прямоугольный треугольник. Длина отрезка до точки касания на окружности составляет радиус окружности. Тогда по теореме синусов:

??/13 = sin 30°, ?? ≈ 6.5 см.

Итак, отрезок ?? равен примерно 6.5 см.