Диагональ BD трапеции ABCD перпендикулярна основанию AD, сумма тупых углов трапеции равна 270°, и BC: AD =1: 4. a) Докажите, что AB =2CD. б) Найдите площадь четырёхугольника c вершинами в серединах оснований и диагоналей трапеции, если BD = 4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку тупые углы трапеции равны 270°, то острые углы равны 90°. Тогда треугольник ABD и CBD являются прямоугольными. Так как диагональ BD перпендикулярна AD, то треугольник ABD и CBD подобны, и соответственно AB/BD = AD/CD. Так как BC:AD = 1:4, то CD = BC/2. Подставляя это в пропорцию, получаем AB/4 = 4CD/CD, откуда AB = 2CD.

б) Площадь четырёхугольника равна разности площадей трапеции и треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна 1/2 BC AD = 1/2 (BC/CD) 4CD = 2BC. Площадь трапеции равна 1/2 (AB + CD) AD = 1/2 (2CD + CD) 4CD = 6CD^2. Тогда площадь четырёхугольника равна 6CD^2 - 2CD = 4CD^2.

Если BD = 4, то CD = 2 (поскольку BD = 2CD). Подставляя это в формулу для площади четырёхугольника, получаем площадь равную 4 * 2^2 = 16.