Разложить в ряд Тейлора до f(n)
x/(1-2x)^1/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для этого выражения мы можем использовать биномиальную теорему:

(1 + x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + C(n,3)x^3 + ...

где C(n, k) - биномиальный коэффициент.

Заменим x на -2x и n/3 на -1/3

(1 - 2x)^(-1/3) = C(-1/3,0) + C(-1/3,1)(-2x) + C(-1/3,2)(-2x)^2 + C(-1/3,3)(-2x)^3 + ...

= 1 + (-1/3)(-2x) + (-1/3)(-4x)^2 + (-1/3)(-6x)^3 + ...

= 1 + 2/3x + 4/9x^2 + 8/27x^3 + ...

Теперь умножим полученный ряд на x:

x/(1 - 2x)^(1/3) = x(1 + 2/3x + 4/9x^2 + 8/27x^3 + ...)

= x + 2/3x^2 + 4/9x^3 + 8/27x^4 + ...

Таким образом, разложение в ряд Тейлора до f(n) для x/(1 - 2x)^(1/3) будет x + 2/3x^2 + 4/9x^3 + 8/27x^4 + ...