Геометрическая прогрессия (Геометрия) Для геометрической прогрессии известно, что разность между её пятым и третьим членами равна 72, а разность между четвёртым и вторым членами равна 36.

Определите первый член данной геометрической прогрессии.
Определите знаменатель данной геометрической прогрессии.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим первый член геометрической прогрессии как (a), а знаменатель как (q).

Тогда пятый член прогрессии будет равен (a \cdot q^4), третий член будет равен (a \cdot q^2), четвёртый член будет равен (a \cdot q^3), а второй член будет равен (a \cdot q).

Из условия задачи имеем два уравнения:
1) (a \cdot q^4 - a \cdot q^2 = 72)
2) (a \cdot q^3 - a \cdot q = 36)

Разделив второе уравнение на первое, получаем:
(\frac{a \cdot q^3 - a \cdot q}{a \cdot q^4 - a \cdot q^2} = \frac{36}{72})
(q^2 = \frac{1}{2})
(q = \sqrt{\frac{1}{2}})

Так как у нас теперь есть значение (q), подставляем его в любое из изначальных уравнений, например во второе:
(a \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^3 - a \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = 36)
(a \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) - a \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = 36)
(a \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} - a \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = 36)
(a \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2} = 36)
(a = \frac{72}{\sqrt{2} - 1} = \frac{72(\sqrt{2} + 1)}{2})
(a = 36(\sqrt{2} + 1))

Итак, первый член геометрической прогрессии равен (36(\sqrt{2} + 1)), а знаменатель равен (\sqrt{\frac{1}{2}}).