Алгебра и геометрия, 2й курс. Задача про "универсальное свойство для чайников". Дульсинея каждому собственному (то есть сохраняющему ориентацию) невырожденному подобию евклидовой плоскости поставила в соответствие комплексный коэффициент, модуль которого равен действительному коэффициенту подобия, а аргумент - углу, на который подобие поворачивает направленный отрезок.
Пусть G - группа собственных подобий евклидовой плоскости, отображение f ставит в соответствие собственному подобию его комплексный коэффициент.
Показать, что: f - сюръективный гомоморфизм из неабелевой группы G в некоторую абелеву группу;f обладает универсальным свойством, то есть если g - какой-либо гомоморфизм из G в некоторую абелеву группу, то g = пи после f, где пи - некоторый гомоморфизм абелевых групп.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала покажем, что отображение f является гомоморфизмом. Пусть A и B - два собственных подобия, их комплексные коэффициенты будут обозначаться как a и b соответственно.
Тогда f(AB) = f(композиция подобий A и B) = f(A)f(B) = ab, так как комплексные числа умножаются в случае композиции подобий.
Таким образом, f является гомоморфизмом.

Покажем, что f является сюръективным гомоморфизмом. Возьмем произвольное комплексное число z = |z|*e^(iθ), где |z| - модуль числа z, θ - его аргумент.
Построим подобие с коэффициентом z: A(z) - это подобие, которое умножает отрезок на |z| и поворачивает его на угол θ.
Тогда f(A(z)) = z, так как комплексный коэффициент подобия A(z) равен z.
Это означает, что каждому комплексному числу можно сопоставить собственное подобие из G, значит f - сюръективный.

Докажем, что f обладает универсальным свойством. Пусть дано отображение g из G в некоторую абелеву группу.
Построим отображение π из комплексных чисел в данную абелеву группу следующим образом: π(z) = g(A(z)), где A(z) - подобие с комплексным коэффициентом z.
Тогда очевидно, что g = π после f, так как для любого комплексного числа z верно, что g(A(z)) = gf(A(z)) = gf(z).
Таким образом, f обладает универсальным свойством.

Таким образом, мы показали, что отображение f - сюръективный гомоморфизм из неабелевой группы G в некоторую абелеву группу, и что оно обладает универсальным свойством.