Нужна помощь с математикой желательно быстрее Внутри равностороннего треугольника выбрана некоторая точка, расстояние от которой до вершин треугольника равно 5, 6 и 7 сантиметров соответственно. Найти площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть данная точка находится на расстоянии 5 см от вершины треугольника A, на расстоянии 6 см от вершины B и на расстоянии 7 см от вершины C.

Проведем из точки проведем перпендикуляры к каждой стороне треугольника:

Тогда по теореме Пифагора для каждого из треугольников получаем следующие уравнения
x^2 = h^2 + 2
y^2 = h^2 + 3
z^2 = h^2 + 49

где h - высота треугольника, для которой мы находим из уравнений следующее
h^2 = x^2 - 25 = y^2 - 36 = z^2 - 49

Из формулы для площади равностороннего треугольника S = a^2 sqrt(3) / 4, где a - длина стороны треугольника, найдем длину стороны a
5^2 sqrt(3) / 4 = 25 * sqrt(3) /
Так как данную точку мы выбирали на расстояниях от вершин треугольника, то a = 5 + 6 + 7 = 18

Также заметим, что сумма длин всех высот треугольника равна его высоте H
x + y + z =
x^2 + y^2 + z^2 + 2 (xy + yz + xz) = H^
(h + 25) + (h + 36) + (h + 49) + 2 (xy + yz + xz) = H^
3 h + 110 + 2 (xy + yz + xz) = H^2

Таким образом, по найденным длинам отрезков (ответственно x, y, z) и высоте H найдем площадь равностороннего треугольника.