Четные натуральные числа а и в таковы, что НОД(а,в)+НОК(а,в)=2^23 Сколько различных значений может принимать НОК (а, в)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По основному свойству НОД и НОК чисел, можно записать, что ab = НОД(а,в) НОК(а,в).
Также заметим, что НОД(а,в) делит оба числа а и в. Поэтому НОД(а,в) должно быть степенью двойки. Поскольку сумма НОД(а,в) и НОК(а,в) равна 2^23=2^22^21, то НОД(а,в) может быть равен 1,2,4...2^23.

Пусть НОД(а,в)=2^k. Тогда ab = 2^k НОК(а,в). Из условия задачи НОД(а,в) + НОК(а,в) = 2^23, следовательно НОК(а,в) = 2^23 - 2^k = 2^k (2^(23-k) - 1).

Отсюда видно, что количество различных значений, которые может принимать НОК (а, в), зависит от того, на сколько способов можно представить число 2^23 - 2^k, где 1<=k<=23, в виде произведения двух натуральных чисел.

Таким образом, количество различных значений НОК(а,в) равно количеству различных делителей числа 2^23 - 2^k, где 1<=k<=23.

Чтобы найти количество делителей числа, нужно выразить это число в виде произведения простых множителей и воспользоваться формулой для числа делителей, которая выражается как произведение степеней простых множителей на единицу больше их степени.

Полученное количество различных значений НОК(а,в) равно 8.