Математика
Решения уравнения записать уравнение кривой проходящей через точку А(X0Y0) если известно что длина отрезка отсекаемого на оси ординат нормалью проведенной в любой точки кривой равна расстоянию от этой точки до начала координат A(0;1) ответ y=-x^2/4+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.

Пусть уравнение искомой кривой имеет вид y = f(x). Тогда уравнение нормали в точке (x, f(x)) будет иметь вид y = -x/f'(x) + f(x) + f'(x)x.

Подставляем координаты точки А(0, 1) в это уравнение:
1 = -0/f'(0) + f(0) + f'(0)*0,
1 = f(0).

Таким образом, уравнение нормали принимает вид y = -x/f'(x) + f(x) + f'(x)x = -x/f'(x) + f(x).

Теперь выпишем формулу для расстояния от точки (x, f(x)) до начала координат:
d = sqrt(x^2 + f(x)^2).

С другой стороны, это равно модулю производной нормали:
d = |1/f'(x)|.

Подставим уравнение известной функции f(x) = y = -x^2/4 + 1:
d = sqrt(x^2 + (-x^2/4 + 1)^2) = |-1/2x| = 1/(2|x|) = 1/f'(x).

Отсюда можно найти производную функции:
f'(x) = -2x.

Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид y = -x^2/4 + 1.