Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = x^2 и y = 4x − x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения парабол:

x^2 = 4x - x^
2x^2 = 4
x^2 - 2x =
x(x-2) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 2. Подставляем найденные значения x в параболы, чтобы найти соответствующие значения y:

При x = 0
y = (0)^2 =
y = 4*0 - (0)^2 = 0

При x = 2
y = (2)^2 =
y = 4*2 - (2)^2 = 4

Теперь можем построить график парабол и найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя параболами:

\int{0}^{2} (4x - x^2 - x^2) dx = \int{0}^{2} (4x - 2x^2) dx = [2x^2 - (2/3)x^3]_{0}^{2} = 8 - 16/3 = 24/3 - 16/3 = 8/
]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболами y = x^2 и y = 4x − x^2, равна 8/3.