Геометрия 11 кл Завод планирует выпускать баки в форме цилиндра без крышки. Расчитай радиус основания и высоту бака, если его объём должен быть равен 19,683π, при этом расход материала на его изготовление должен быть наименьшим. Радиус основания цилиндра равен: ? Высота цилиндра равна: ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для минимизации расхода материала на изготовление бака в форме цилиндра без крышки, нужно оптимизировать соотношение между радиусом основания и высотой цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле V = π r^2 h, где V - объем, r - радиус основания, h - высота.

Так как задан объем бака V = 19,683π, подставляем данное значение и упрощаем уравнение:
19,683π = π r^2 h =>
19,683 = r^2 * h =>
h = 19,683 / r^2.

Чтобы получить минимальный расход материала, нужно минимизировать функцию площади поверхности бака, которая равна S = 2 π r (h + r). Подставляем значение h:
S = 2 π r (19,683 / r^2 + r) = 2 π (19,683 / r + r).

Для нахождения минимума выражения S, возьмем производную по r и приравняем её к нулю:
dS/dr = 2 π (-19,683 / r^2 + 1) = 0 =>
-19,683 / r^2 + 1 = 0 =>
r^2 = 19,683 =>
r = √19,683 ≈ 140.

Теперь подставляем найденное значение радиуса обратно в уравнение h = 19,683 / r^2:
h = 19,683 / (140^2) ≈ 19,683 / 19600 ≈ 1.

Итак, радиус основания цилиндра равен примерно 140, а высота равна примерно 1.