Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y = 3-x^2/x+2 (если можно объясните каждый шаг)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, нам понадобится производная этой функции. Рассчитаем производную функции y:

y' = (2x(x+2) - (-x^2)) / (x+2)^2

  = (2x^2 + 4x + x^2) / (x+2)^2

  = (3x^2 + 4x) / (x+2)^2

  = x(3x + 4) / (x+2)^2

Теперь, чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, мы должны решить уравнение y' = 0.

x(3x + 4) / (x+2)^2 = 0

Здесь мы имеем два случая:

1. x = 0: Подставляя x = 0 в исходную функцию y, получим y = 3. Таким образом, точка (0, 3) является экстремумом функции.

2. 3x + 4 = 0: Решая это уравнение, мы найдем x = -4/3. Подставляя это значение x в исходную функцию y, получим y = 31/7. Таким образом, точка (-4/3, 31/7) также является экстремумом функции.

Теперь рассмотрим интервалы между экстремумами (-∞, -4/3), (-4/3, 0) и (0, +∞).

1. При x < -4/3, производная y' < 0. Это означает, что функция y убывает в этом интервале.

2. При -4/3 < x < 0, производная y' > 0. Это означает, что функция y возрастает в этом интервале.

3. При x > 0, производная y' > 0. Это означает, что функция y возрастает в этом интервале.

ОТВЕТ: функция y = 3 - x^2 / (x + 2) имеет точку перегиба при x = 0 и экстремумы в точках (-4/3, 31/7) и (0, 3).

Дарья01. Какой ужас.