В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD.Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания.Через середину M высоты пирамиды и диагональ AC проведена плоскость.Найти расстояние от вершины B до этой плоскости, если AB=24, BC=18, угол ADC=60 а синус угла между плоскостью ACM и плоскостью основания пирамиды равен √39/9

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту пирамиды как h, а стороны параллелограмма ABCD как a и b.

Так как мы имеем дело с параллелограммом, то a = DC = AB = 24 и b = AD = BC = 18.

Из теоремы Пифагора для треугольника ACD найдем длину стороны CD:
CD^2 = AD^2 + AC^2 = 18^2 + h^2

Так как угол ADC равен 60 градусам, то по теореме косинусов для треугольника ADC:
h^2 = 18^2 + DC^2 - 2 18 DC cos(60)
h^2 = 18^2 + DC^2 - 18 DC
h^2 = 324 + DC^2 - 18DC

После подстановки DC^2 = 24^2 - h^2 получим:
h^2 = 324 + 576 - h^2 - 18(24 - h)
2h^2 + 18h - 576 = 0
h^2 + 9h - 288 = 0

Решая квадратное уравнение, найдем h = 12 см.

Площадь треугольника AMC = 0.5 AC h = 0.5 24 12 = 144 см^2

Тангенс угла между плоскостью ACM и плоскостью основания равен (b / h) = 18 / 12 = 1.5

Так как синус угла равен √39/9, то найдем косинус угла как √1 - (синус^2):
cos α = √(1 - (sin^2 α)) = √(1 - (39/81)) = √(42/81) = √(14/27)

Теперь найдем синус угла как tan α cos α:
sin α = 1.5 √(14/27) = 3√14 / √27 = 3√14 / 3√3 = √14/√3 = √42/3

Теперь найдем площадь треугольника ABC выразив ее через синус угла между AC и BC (sin β):
S = 0.5 AB BC sin β = 0.5 24 18 sin β = 216 * sin β

Теперь найдем sin β через равенство синусов (sin β = √42/3):
216 √42/3 = 72 √42

Теперь найдем расстояние от вершины B до плоскости:
h_B = h - BM = h - AM sin β = 12 - 72 √42 = 12 - 72√14单位.