Диагональ BD прямоугольника ABCD служит боковой стороной равнобедренного треугольника BDE(BD=BE). Площадь этого треугольника равна площади прямоугольника. Найти наименьшее возможное значение угла в градусах между диагоналями прямоугольника, если известно что угол CBE=54 градусам

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону прямоугольника ABCD как a, а сторону BD как x. Также обозначим угол BDE как α.

Так как BD=BE, то треугольник BDE - равнобедренный, значит углы BED и BDE равны, таким образом угол BDE равен (180-2α) градусам.

Так как угол CBE=54 градуса, то угол BEE равен (180-54) = 126 градусам. Также угол BED равен (180-126) = 54 градуса.

Так как угол BED равен углу EDC, то угол EDC также равен 54 градусам.

Теперь мы знаем, что треугольник EDC - равнобедренный. Так как DC=DA=a и EC=ED=x, то DE=√(a^2+x^2).

Таким образом, площадь треугольника BDE равна (1/2)x√(a^2+x^2), а площадь прямоугольника ABCD равна a*x.

Учитывая, что площади треугольника и прямоугольника равны, получаем уравнение:

(1/2)x√(a^2+x^2) = a*x

x√(a^2+x^2) = 2ax

√(a^2+x^2) = 2a

a^2 + x^2 = 4a^2

x^2 = 3a^2

x = a*√3

Теперь можем найти угол между диагоналями прямоугольника:

tg(угла между диагоналями) = DC/AD = DE/DA = (a*√3)/a = √3

Учитывая, что угол между диагоналями прямоугольника равен arctg(√3) ≈ 60 градусам, наименьшим возможным значением угла между диагоналями будет 60 градусов.