Стороны АВ и АС треугольника АВС равны 5 и 8. На медиане АМ этого треугольника выбрана точка Р такая, что сумма расстояний от точки Р до прямых АВ и АС равна 2. Найдите эти расстояния.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка М делит медиану на отрезки АР и РМ в отношении к АМ как m:1. Тогда РМ = (1/ (m + 1)) АМ, а АР = (m / (m + 1)) АМ.

Дано, что сумма расстояний от точки Р до прямых АВ и АС равна 2. Рассмотрим сначала расстояние от точки Р до прямой АВ.

Мы знаем, что расстояние от точки Р до прямой АВ равно RР * sin(угол AVR), где θ - это угол между прямой и медианой. Так как угол AVR = угол C, который равен 60 градусов, синус угла равен √3/2.

Следовательно, расстояние от точки Р до прямой АВ = РА sin60° = 8 (m/ (m + 1)) = 4 * 8/9 = 32/9.

Аналогично, расстояние от точки Р до прямой АС = РА sin60° = 5 (1/ (m + 1)) = 5/ (m + 1) = 5/9.

Условие гласит, что сумма этих расстояний равна 2. Поэтому, имеем:

32/9 + 5/9 = 2
37/9 = 2
37 = 18.

Таким образом, расстояния от точки Р до прямых АВ и АС равны 4 4/9 и 5/9.