Математика, теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Докажите, пж, кому не сложно: среднее арифметическое двух неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического тех же чисел.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть два неотрицательных числа a и b.

Среднее арифметическое двух чисел можно найти по формуле: (a + b) / 2.

Среднее геометрическое двух чисел можно найти по формуле: sqrt(ab).

Докажем, что (a + b) / 2 >= sqrt(ab).

Рассмотрим неравенство (a + b) / 2 >= sqrt(ab).

Умножим обе части неравенства на 2: a + b >= 2 * sqrt(ab).

Возведем обе части неравенства в квадрат: (a + b)^2 >= 4ab.

Раскроем скобки: a^2 + 2ab + b^2 >= 4ab.

Получим: a^2 - 2ab + b^2 >= 0.

Это равносильно (a - b)^2 >= 0, что всегда выполняется для любых неотрицательных чисел a и b.

Таким образом, доказано, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического тех же чисел.