Вопрос всем математикам! Уважаемые математики, а вы можете доказать, что непрерывная и биективная на [a; b] функция
монотонна на [a; b]? И используя какую теорему вы можете это сделать?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что непрерывная и биективная функция на отрезке [a; b] монотонна на этом отрезке, можно воспользоваться теоремой Дарбу.

Теорема Дарбу утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на этом отрезке два различных значения, то она принимает все промежуточные значения между ними.

Поскольку функция биективна, то она принимает все значения на интервале между f(a) и f(b). Из этого следует, что функция строго возрастающая (или строго убывающая), то есть монотонная на отрезке [a; b].

Таким образом, можно сделать вывод о том, что непрерывная и биективная функция на отрезке [a; b] монотонна на этом отрезке.