В тетраэдре ABCD углы ∠CAB, ∠ABD и ∠BDC — прямые, а длины ребер AB, BD, DC равны√11, 2√5, 4 соответственно.
Найдите радиус описаний сферы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту тетраэдра из вершины A на грань BCD, обозначим эту высоту h. Так как угол ACB прямой, треугольник ACB является прямоугольным, а значит, по теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = (√11)^2 + (2√5)^2
AC^2 = 11 + 20
AC^2 = 31
AC = √31

Теперь можно найти высоту h, разделив параллелепипед на прямоугольные трапеции ACDP и BCPD:

h = CD AC / (DC + √11)
h = 4 √31 / (4 + √11)
h = 4√31 / (4 + √11)

Теперь найдем радиус описанной сферы, применив формулу:

R = h / 3
R = (4√31 / (4 + √11)) / 3
R = 4√31 / 3(4 + √11)
R = 4√31 / (12 + 3√11)
R = 4√31 / ((12 + 3√11)(12 - 3√11))
R = 4√31 / (144 - 99)
R = 4√31 / 45
R = √31 / 5

Итак, радиус описанной сферы равен √31 / 5.