В тетраэдре ABCD углы ∠CAB, ∠ABD и ∠BDC — прямые, а длины ребер AB, BD, DC равны√11, 2√5, 4 соответственно. Найдите радиус описаний сферы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам потребуется формула для радиуса описанной сферы тетраэдра, которая выглядит следующим образом:

(R = \dfrac{abc}{4V},)

где a, b, c - длины ребер тетраэдра, V - его объем.

Сначала найдем объем тетраэдра ABCD. Для этого воспользуемся формулой объема тетраэдра через площадь основания и высоту:

(V = \dfrac{1}{3}S \cdot h,)

где S - площадь треугольника ABC, h - высота тетраэдра, опущенная из вершины D на плоскость ABC.

Треугольник ABC - прямоугольный, поэтому его площадь равна:

(S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{11} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{55}.)

Определим высоту h с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного тетраэдра ABCD:

(h^2 = BD^2 - (BC \cdot \cos{\angle{BDC}})^2 = 11 - (2\sqrt{5} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{21}})^2 = 11 - \dfrac{16}{21} = \dfrac{115}{21},)

(h = \sqrt{\dfrac{115}{21}}.)

Теперь можем рассчитать объем тетраэдра:

(V = \dfrac{1}{3} \cdot \sqrt{55} \cdot \sqrt{\dfrac{115}{21}} \approx 5.15.)

Теперь можем найти радиус описанной сферы:

(R = \dfrac{\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4}{4 \cdot 5.15} = \dfrac{8\sqrt{55}}{20.6} \approx 1.83.)

Таким образом, радиус описанной сферы тетраэдра ABCD равен примерно 1.83.