Математика решить уравнение y’-y/2x=x^2
Если y(1)=0,4
В ответе указать значение y(2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано дифференциальное уравнение:

y' - y/2x = x^2

Преобразуем уравнение, чтобы найти общее решение. Сначала найдем решение однородного уравнения y' - y/2x = 0. Для этого преобразуем уравнение:

y' = y/(2x)

y'/y = 1/(2x)

ln|y| = ln|x|/2 + C1

y = e^(ln|x|/2 + C1)

y = e^(ln|x|/2) * e^C1

y = c*x^(1/2)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения y' - y/2x = x^2. Предположим, что частное решение имеет вид y = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - константы. Подставляем это выражение в уравнение:

2Ax + B - (Ax^2 + Bx + C)/(2x) = x^2

Домножаем все выражение на 2x:

2Ax^2 + 2Bx - (Ax^2 + Bx + C) = 2x^3

2Ax^2 + 2Bx - Ax^2 - Bx - C = 2x^3

Ax^2 + Bx - C = 2x^3

Сравниваем коэффициенты слева и справа:

A = 2, B = 0, C = -1

Итак, частное решение y = 2x^2 - 1. Теперь найдем общее решение:

y = c*x^(1/2) + 2x^2 - 1

Используя начальное условие y(1) = 0,4, найдем значение c:

0,4 = c1^(1/2) + 21^2 - 1

0,4 = c + 2 - 1

c = -0,6

Поэтому общее решение уравнения y' - y/2x = x^2:

y = -0,6*x^(1/2) + 2x^2 - 1

Теперь находим значение y(2):

y(2) = -0,62^(1/2) + 22^2 - 1

y(2) = -0,6√2 + 24 - 1

y(2) = -0,6*1,414 + 8 - 1

y(2) = -0,8484 + 7

y(2) = 6,1516

Итак, значение y(2) = 6,1516.