Сторона основания правильной четырёхугольной призмы 5 см а диагональ призмы образует с основанием угол равный 45 градусам найдите площадь полной поверхности призмы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, нам нужно знать площадь её основания и площадь боковой поверхности.

Площадь основания:
Основанием призмы является квадрат со стороной (a = 5) см. Площадь квадрата рассчитывается по формуле:
[
S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ см}^2.
]

Площадь боковой поверхности:
Боковая поверхность призмы состоит из четырёх прямоугольников, высота каждого из которых равна высоте призмы.

Для нахождения высоты призмы, воспользуемся данными. Диагональ призмы образует угол 45 градусов с основанием. Если обозначить высоту призмы как (h), то по теореме Пифагора для треугольника, составленного из высоты, половины диагонали основания и диагонали призмы, мы имеем:

Диагональ квадрата считается по формуле:
[
d = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}.
]

Так как диагональ образует угол 45 градусов с основанием, можем записать уравнение:
[
\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{d}{2}},
]
где (\tan(45^\circ) = 1), следовательно, (h = \frac{d}{2}):
[
h = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}.
]

Площадь боковой поверхности:
Боковая площадь призмы равна:
[
S{бок} = 4 \cdot (a \cdot h) = 4 \cdot (5 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}).
]
Упростим:
[
S{бок} = 4 \cdot (5 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}) = 4 \cdot \frac{25\sqrt{2}}{2} = 50\sqrt{2} \text{ см}^2.
]

Площадь полной поверхности:
Площадь полной поверхности призмы вычисляется как сумма площади двух оснований и площади боковой поверхности:
[
S{пол} = 2 \cdot S{осн} + S{бок} = 2 \cdot 25 + 50\sqrt{2}.
]
[
S{пол} = 50 + 50\sqrt{2} \text{ см}^2.
]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы составляет:
[
S_{пол} = 50 + 50\sqrt{2} \text{ см}^2.
]