Вычислите объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: y=-2x+2, x=0, y=2, y=6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения кривых. Подставим уравнения вместо y и найдем x-координату точек:

Точки пересечения кривых: (0, 2) и (2, 6).

Теперь найдем объем тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси Оу, используя метод цилиндров образующих:

V = π ∫[a, b] f(x)^2 dx.

f(x) = -2x + 2, a = 0, b = 2.

V = π ∫[0, 2] (-2x + 2)^2 dx
V = π ∫[0, 2] (4x^2 - 8x + 4) dx
V = π [4/3 x^3 - 4x^2 + 4x] ∣₀₂
V = π [(4/3 2^3 - 4 2^2 + 4 2) - (4/3 0^3 - 4 0^2 + 4 0)]
V = π [(32/3 - 16 + 8) - 0]
V = π [(32/3 - 8) - 0]
V = π [16/3].

Ответ: V = 16π/3.