1. Вычислите объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: y=-2x+2, x=0, y=2, y=6. 2. Вычислите объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: y=-3x+1, x=0, y=3, y=7.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем точки пересечения кривых:
y=-2x+2 и y=2
-2x+2=2
-2x=0
x=0
Точка пересечения (0,2)

y=-2x+2 и y=6
-2x+2=6
-2x=4
x=-2
Точка пересечения (-2,6)

Объем тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси Оу, можно найти с помощью формулы интеграла:
V = π∫[a,b] y^2 dx

V = π∫[-2,0] (-2x+2)^2 dx + π∫[0,-2] (6)^2 dx
V = π∫[-2,0] 4x^2 - 8x + 4 dx + π∫[0,-2] 36 dx
V = π[4/3 x^3 - 4x^2 + 4x]∣[-2,0] + π[36x]∣[0,-2]
V = π[(4/30^3 - 40^2 + 40) - (4/3(-2)^3 - 4(-2)^2 + 4(-2))] + π[36(-2) - 360]
V = π[(0 - (4/3-8 - 44 - 8)) + π[-72]
V = π[(0 - (-32/3 - 16 - 8)) + π[-72]
V = π[(32/3 + 16 + 8) + π[-72]
V = π[32/3 + 24] + π[-72]
V = 32π/3 + 24π - 72π
V = (32/3 - 48)π
V = -80π/3

Ответ: объем тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси Оу, равен -80π/3.

Аналогично проводим вычисления для данной фигуры:
Точка пересечения (0,1)

y=-3x+1 и y=3
-3x+1=3
-3x=2
x=-2/3
Точка пересечения (-2/3,3)

y=-3x+1 и y=7
-3x+1=7
-3x=6
x=-2
Точка пересечения (-2,7)

V = π∫[-2/3,0] (-3x+1)^2 dx + π∫[0,-2] (7)^2 dx
V = π∫[-2/3,0] 9x^2 - 6x + 1 dx + π∫[0,-2] 49 dx
V = π[3x^3 - 3x^2 + x]∣[-2/3,0] + π[49x]∣[0,-2]
V = π[(30^3 - 30^2 + 0) - (3(-2/3)^3 - 3(-2/3)^2 + (-2/3))] + π[0 - 490]
V = π[(0 - (3(-8/27) - 3*(4/9) - (-2/3))] + π[0]
V = π[(0 + 8/9 + 4/3 + 2/3)] + π[0]
V = π[8/9 + 16/3] + π[0]
V = π[8/9 + 48/9] + π[0]
V = 56π/9

Ответ: объем тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси Оу, равен 56π/9.