Докажите лемму, которую я случайно обнаружил Рассмотрим сумму ряда последовательных четных чисел: 2 + 4 + 6 + 8 ... + 2k. Она будет кратна k для любого k

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данной леммы, давайте рассмотрим сумму первых k четных чисел, где k - натуральное число:

S = 2 + 4 + 6 + ... + 2k

Так как четное число можно представить в виде 2n, где n - натуральное число, то можно переписать сумму S следующим образом:

S = 21 + 22 + 23 + ... + 2k = 2*(1+2+3+...+k)

Известно, что сумма первых k натуральных чисел равна k*(k+1)/2, поэтому можно продолжить доказательство:

S = 2(1+2+3+...+k) = 2k(k+1)/2 = k(k+1)

Таким образом, мы доказали, что сумма первых k четных чисел равна k*(k+1). Поскольку k умножается на (k+1), то результат будет кратен k для любого натурального числа k.