Математика. Площадь сложной фигуры В треугольнике ABC со стороной AB = 3 проведены биссектрисы AE и CF, которые пересекаются в точке O, причем OE = OF.

Найдите длину отрезка EF, если площадь треугольника ABC равна
3 √ 3 , и AB≠BC.

Результат округлите до десятых.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOE, BOF и COE.

Площадь треугольника AOE равна (1/2)AEOEsin(EAO) = (1/2)AEOEsin((180-2A)/2) = (1/2)AEOEsin(90-A) = (1/2)AEOEcos(A).

Аналогично, площади треугольников BOF и COE равны (1/2)BFOEcos(B) и (1/2)CEOEcos(C) соответственно.

Таким образом, 3√3 = (1/2)AEOEcos(A) + (1/2)BFOEcos(B) + (1/2)CEOEcos(C) = (1/2)OE(AEcos(A) + BFcos(B) + CEcos(C)).

Так как OE=OF, AE=EC и BF=BC, то 3√3 = (1/2)OE(ACcos(A) + BCcos(B) + AC*cos(C)).

Заметим, что в треугольнике AOC синус угла AOC равен площади треугольника AOC, деленной на произведение сторон ACOC: sin(AOC) = S(AOC) / (ACOC).

Таким образом, sin(AOC) = 3√3 / (ACOC), откуда ACOC = 3√3 / sin(AOC) = 3√3 / sin(180 - 2A) = 3√3 / sin(2A) = 3√3 / (2sin(A)cos(A)) = (3√3) / (2sin(A)cos(A)) = (3√3) / sin(2A) = 3√3 / 2.

Так как AC=2Rsin(A), то OC=2Rsin(C). Подставим это в выражение для площади треугольника AOC:

S(AOC) = (1/2)ACOCsin(AOC) = (1/2)2Rsin(A)2Rsin(C)sin(AOC) = R^2sin(A)sin(C)*sin(AOC) = 3√3.

Отсюда sin(A)sin(C)sin(AOC)=3√3/R^2 = 1/2.

Из тригонометрического тождества получаем, что 1/2 = (cos(2A) - cos(2A + 2C)) / 2 = 1-2sin^2(A) + 2sin(A)cos(C) = 1-2sin^2(A) + 2sin(A)sqrt(1-sin^2(A)) = 1-2sin^2(A) + 2sin(A)sqrt(1-4sin^2(A)(1-sin^2(A))) = 1-2sin^2(A) + 2sin(A)sqrt(1-4sin^2(A) + 4sin^4(A)) = 1-2sin^2(A) + 2sin(A)sqrt(1-4sin^2(A) + 4sin^4(A)) = 1-2sin^2(A) + 2sin(A)sqrt(1-2sin^2(A) + 2sin^4(A)) = 1-2sin^2(A) + 2sin(A)sqrt((1-sin^2(A))^2) = 1-2sin^2(A) + 2sin(A)*(1-sin(A)) = 1-2sin^2(A) + 2sin(A) - 2sin^2(A) = 1 + 4sin(A)-4sin^2(A) = (2sin(A)-1)^2

Таким образом, sin(A)=1/2 и sin(C)=sin(A)=1/2.

Тогда, cos(A)=sin(90-A)=√3/2 и cos(C)=cos(A)=√3/2.

Подставляем в уравнение: 3√3 = (1/2)OE(ACcos(A) + BCcos(B) + AC*cos(C)). Поскольку AB≠BC, то углы A и C не равны.

ACcos(A) = BCcos(C) => 2Rcos(A)sin(A) = 2Rcos(C)sin(C) => sin(2A) = sin(2C).

Значит угол ACB равен 60 градусам, а сторона BC равна 3√3 / 2. В треугольнике BCO высота BO делит треугольник на два равнобедренных треугольника со сторонами 3/2 и 3√3 / 2. С ними мы можем посчитать EF.

Высчитываем площадь треугольника BCO: (1/2)BOCO*sin(60)=3√3, откуда BO=2, CO=3. Площадь всего треугольника равна 4√3.

EF=√(3^2 + (3√3 / 2)^2 - 3^2) = √(9+27/4-9) = √(27/4)=√27/2≈2.6.

Ответ: 2.6.