Точки D и E на сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC такие, что DE касается вписанной в треугольник ABC окружности. Найдите сторону треугольника ABC, если CE = 2, BD = 3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону треугольника ABC как x. Так как треугольник ABC равносторонний, то DE является высотой треугольника ABC, а также биссектрисой угла BAC. Пусть точка O - центр вписанной окружности треугольника ABC.

Так как DE касается вписанной окружности, то согласно свойству касательных, EO = OD = r, где r - радиус вписанной окружности.

Построим высоту из точки C к стороне AB треугольника ABC и обозначим точку пересечения DE с AB как F. Так как треугольник ABC равносторонний, то CF также является высотой, а значит DF = x - 3.

Рассмотрим правильный треугольник CDO. По теореме Пифагора:

CD^2 = CO^2 + DO^2
2^2 = r^2 + r^2
4 = 2r^2
r = √2

Теперь рассмотрим правильный треугольник EFD. По теореме Пифагора:

EF^2 = DF^2 + DE^2
(2√2)^2 = (x - 3)^2 + x^2
8 = x^2 - 6x + 9 + x^2
2x^2 - 6x - 1 = 0
x^2 - 3x - 1/2 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем x = 3 + √7.

Итак, сторона треугольника ABC равна 3 + √7.