Олимпиадная задаче по алгебре Найдите все пары (m;n) натуральных чисел m и n, удовлетворяющих равенству m/9 + 8/m = n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно преобразовать следующим образом:

m/9 + 8/m =
m^2/9 + 8 = m
m^2 - 9mn + 72 = 0

Для нахождения всех пар (m;n) натуральных чисел, удовлетворяющих данному уравнению, нужно проанализировать его корни.

Рассмотрим уравнение в общем виде: m^2 - 9mn + 72 = 0.

Дискриминант D = (9n)^2 - 4172 = 81n^2 - 288.

Так как m и n являются натуральными числами, то дискриминант должен быть полным квадратом натурального числа.

Рассмотрим возможные значения n:

1) n = 1: D = 81 - 288 = -207 (отрицательное значение, не подходит
2) n = 2: D = 324 - 288 = 36 (D является полным квадратом 6^2
3) n = 3: D = 729 - 288 = 441 (D является полным квадратом 21^2
4) n = 4: D = 1296 - 288 = 1008 (не является полным квадратом
5) n = 5: D = 2025 - 288 = 1737 (не является полным квадратом
6) n = 6: D = 2916 - 288 = 2628 (не является полным квадратом
7) n = 7: D = 3969 - 288 = 3681 (D является полным квадратом 61^2
...

Таким образом, пары (m;n) натуральных чисел, удовлетворяющих данному уравнению, будут следующими:

1) n = 2, m^2 - 18m + 72 = 0 (решением будет m = 9
2) n = 3, m^2 - 27m + 72 = 0 (решением будет m = 18
3) n = 7, m^2 - 63m + 72 = 0 (решением будет m = 9)

Таким образом, все пары (m;n) натуральных чисел, удовлетворяющих равенству m/9 + 8/m = n, это (9;2), (18;3) и (9;7).