Найдите наименьшее значение выражени
10y2−6xy−8y+x2+19
Числа
и
принимают любые действительные значения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего значения выражения можно воспользоваться методом завершения квадрата.

Сначала перепишем данное выражение
10y^2 - 6xy - 8y + x^2 + 19

Разобьем его на две части
(10y^2 - 8y) - 6xy + x^2 + 19

Теперь завершим квадрат для части с участием переменной y
10(y^2 - 0.8y) - 6xy + x^2 + 19

Добавим и вычтем квадрат от половины коэффициента перед y, который равен 0.4
10(y^2 - 0.8y + 0.4^2 - 0.4^2) - 6xy + x^2 + 1
10(y^2 - 0.8y + 0.16) - 6xy + x^2 + 19

Теперь завершим квадрат для части с переменной x
10(y^2 - 0.8y + 0.16) -6xy + x^2 + x^2 + 19

Добавим и вычтем квадрат от половины коэффициента перед x, который равен 3
10(y^2 - 0.8y + 0.16) -6xy + x^2 + x^2 - 3^2 + 3^2 + 1
10(y^2 - 0.8y + 0.16) -6xy + x^2 + x^2 - 9 + 9 + 19

Теперь преобразуем выражение к виду суммы квадратов
10(y^2 - 0.8y + 0.16) + (x^2 - 3)^2 + 19

Теперь заменим y на 0.4 и x на 3 в найденном выражении
10(0.4^2 - 0.8*0.4 + 0.16) + (3^2 - 3)^2 + 1
10(0.16 - 0.32 + 0.16) + (9 - 3)^2 + 1
10(0) + (6)^2 + 1
0 + 36 + 1
55

Таким образом, наименьшее значение выражения 10y^2 - 6xy - 8y + x^2 + 19 равно 55.