Олимпиада по математике В треугольнике ABC провели медиану BM и биссектрису BK (точка M лежит между точками K и C ). Оказалось, что треугольники ABK и BKM — равнобедренные с основаниями AB и BM соответственно. Найдите угол ABM . Ответ выразите в градусах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол ABK через x. Тогда, так как треугольники ABK и BKM равнобедренные, имеем BM = BK и ∠KBM = ∠KBM = x. Также, так как BM — медиана треугольника ABC, то BM = MC.

Из условия дано, что ∠ABM = 90°, так как BM — медиана треугольника ABC. Рассмотрим треугольник ABM. Так как ∠ABM = 90°, треугольник ABM является прямоугольным. Также, из условия, получаем, что ∠AMC = 90°, так как BM = MC, и поэтому треугольник AMC также является прямоугольным.

Таким образом, угол MBC равен 90°. Из свойств прямоугольных треугольников следует, что угол ABC = 2x и угол AMC = 2x. Следовательно, угол MBC = 180° - 2x - x = 90°, откуда x = 30°.

Итак, угол ABM = 90° - x = 60°. Ответ: 60°.