В треугольнике две стороны равны 4 см и 4√3 см, а угол, лежащий
против меньшей из них, 30°. Найдите углы этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем третью сторону треугольника по теореме косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

где c - третья сторона, a и b - известные стороны, С - угол между ними.

c^2 = 4^2 + (4√3)^2 - 244√3*cos(30°)

c^2 = 16 + 48 - 32cos(30°)
c^2 = 64 - 32(√3/2)
c^2 = 64 - 16√3
c^2 = 16(4 - √3)
c = 4√(4 - √3)

Теперь найдем углы треугольника. Для этого воспользуемся формулой синусов:

sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

Поскольку мы знаем угол С (30°), легче всего найти углы А и В по соотношениям:

sin(A)/a = sin(C)/c
sin(A)/4 = sin(30°)/(4√(4 - √3))
sin(A) = 4*sin(30°)/(4√(4 - √3))
sin(A) = sin(30°)/(√(4 - √3))
sin(A) = 1/2/(√(4 - √3))
sin(A) = 1/(2√(4 - √3))
sin(A) = √(4 + √3)/(2√(4 - √3))

A = asin(sin(A))
A = asin(√(4 + √3)/(2√(4 - √3)))

Аналогично находим угол B:

sin(B)/b = sin(C)/c
sin(B)/4√3 = sin(30°)/(4√(4 - √3))
sin(B) = 4√3sin(30°)/(4√(4 - √3))
sin(B) = 4sin(30°)/(√(4 - √3))
sin(B) = 2/(√(4 - √3))
sin(B) = 2√(4 + √3)/(2√(4 - √3))

B = asin(sin(B))
B = asin(2√(4 + √3)/(2√(4 - √3)))

Таким образом, углы треугольника равны A = asin(√(4 + √3)/(2√(4 - √3)), B = asin(2√(4 + √3)/(2√(4 - √3)), C = 30°.