В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, B, C,D, дано: B,D =17, BD =8,
ВС =6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 дано: B1D =17, BD =8, ВС =6. Найдите расстояние между: а) прямой D1 С и плоскостью АВВ1 б) плоскостями ADC и B1 C1 D1; в) прямыми AD1 и B1C1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Расстояние между прямой D1C и плоскостью AABB1 равно расстоянию между проекциями точки B1 на плоскость AABB1 и точки D1 на прямую D1C.

Точка В1' - проекция точки B1 на плоскость AABB1. Для этого соединим точку B1 с точкой A, получим прямую и проведем к ней перпендикуляр из точки B1, пересекая прямую в точке В1'. Точка B1 лежит на отрезке B'D, который параллелен плоскости AABB1. Поэтому также проводим из точки D перпендикуляр к плоскости AABB1, пересекая ее в точке D'. Точка D' лежит все так же на отрезке B'D.

Теперь нам нужно найти расстояние между точками В1' и D1 в соответствии с данными отрезками BD = BD1 = 8 и B'D = 17.
Используем теорему Пифагора: BD^2 = B1D^2 - B1B'^2 => 8^2 = 17^2 - B1B'^2 => B1B' = √(17^2 - 8^2) = 15
Таким образом, расстояние между точками В1' и D1 равно 15.

б) Для нахождения расстояния между плоскостями ADC и B1C1D1 можно воспользоваться формулой расстояния между параллельными плоскостями: |d| = |h1 - h2|, где h1 и h2 - расстояния от плоскостей до начала координат.

Плоскость ADC проходит через точки A(0,0,0), D(8,0,0) и C(8,6,0). Найдем уравнение плоскости ADC, используя векторное произведение:
n = (CA x DA) = (8i + 6j) x 8i = -48k
Уравнение плоскости ADC: -48z = 0 => z = 0. Расстояние от плоскости до начала координат равно |0 - 0| = 0.

Плоскость B1C1D1 проходит через точки B1(0,17,0), C1(0,17,6) и D1(8,17,6). Проведем аналогичные расчеты для плоскости B1C1D1:
n = (C1B1 x D1B1) = (0i - 6j) x 8i = -48k
Уравнение плоскости B1C1D1: -48z - 204 = 0 => z = -204/48 = -17/4. Расстояние от плоскости до начала координат равно |0 - (-17/4)| = 17/4.

Таким образом, расстояние между плоскостями ADC и B1C1D1 равно |0 - (-17/4)| = 17/4.

в) Для нахождения расстояния между прямыми AD1 и B1C1 можно воспользоваться формулой расстояния между параллельными прямыми: d = |(B1B x BA) * AB| / |BA|. Вычислим эту формулу:

Вектор B1B = (8,0,17) - (0,17,0) = (8,-17,17)
Вектор BA = (8,17,6) - (0,17,0) = (8,0,6)

B1B x BA = (8 6 - 17 0, 17 8 - 8 6, 8 17 - 0 17) = (48, 120, 136)
|(B1B x BA) AB| = |(48 8 + 120 17 + 136 0)| = |384 + 2040| = 2424
|BA| = √(8^2 + 0^2 + 6^2) = 10
d = 2424 / 10 = 242.4

Таким образом, расстояние между прямыми AD1 и B1C1 равно 242.4.