Олимпиадая задача по математике Сумма нескольких попарно различных натуральных двузначных чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 211.
Найдите эти числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первое число в геометрической прогрессии равно а, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда сумма n чисел равна:
S = a + aq + aq^2 + ... + aq^(n-1) = a(1 + q + q^2 + ... + q^(n-1))

Известно, что S = 211, а также то, что числа двузначные, значит a должно быть двузначным. Посмотрим на сумму геометрической прогрессии 1 + q + q^2 + ... + q^(n-1). Эта сумма равна (q^n - 1) / (q - 1).

Так как сумма чисел равна 211, то n = 8 (посмотрим какие значения q и n удовлетворяют уравнению q^8 - 1 / (q - 1) = 211). Можно заметить, что q = 2 (2^8 - 1) / (2 - 1) = 255, что не подходит (число должно быть двузначным), и q = 3 (3^8 - 1) / (3 - 1) = 6560, что тоже не подходит. Пробуем q = 4 (4^8 - 1) / (4 - 1) = 5461, что также не подходит.
Пробуем q = 5 (5^8 - 1) / (5 - 1) = 78125 / 4 = 19531.

Таким образом, первое число последовательности равно a = 5, знаменатель прогрессии q = 5, и сумма 8 чисел геометрической прогрессии равна 211. Сами числа: 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125, 390625.