Задача по ВиС
Середины сторон ромба MNPK являются вершинами четырехугольника АВСD. Из ромба случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что она не принадлежит четырехугольнику АВСD.
Желательно с решением. Заранее спасибо.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим середины сторон ромба как O1, O2, O3, O4 и точку, выбранную из ромба, как X.

Точка X не будет принадлежать четырехугольнику ABCD только в том случае, если она находится вне выпуклого четырехугольника, образованного точками A, B, C, D.

Из условия задачи следует, что точка X может находиться в любой части ромба равновероятно. Чтобы найти вероятность того, что X не принадлежит четырехугольнику ABCD, найдем отношение площадей части ромба, не входящей в ABCD, к площади всего ромба.

Площадь четырехугольника ABCD можно найти как сумму площадей треугольников ABO1, BO2C, COD и DO1A. Пусть сторона ромба равна a. Тогда каждая сторона четырехугольника равна a√2.

Площадь четырехугольника ABCD = 0.5 a O1B + 0.5 O2C a + 0.5 CO3 + 0.5 O4D
= 0.5 a 0.5 a + 0.5 a 0.5 a + 0.5 a 0.5 a + 0.5 a 0.5 a
= 0.5 a^2 + 0.5 a^2 + 0.5 a^2 + 0.5 a^2
= 2a^2

Площадь всего ромба равна a^2.

Теперь найдем площадь части ромба, не входящей в ABCD. Она состоит из четырех сегментов между сторонами AB, BC, CD, DA и окружностями с центрами в серединах сторон и радиусами a/2.

Площадь части ромба, не входящей в ABCD = 4 1/4 π (a/2)^2 - 2 1/2 a (a/2) = π * a^2/4 - a^2/2 = a^2(π/4 - 1/2)

Теперь можем найти вероятность того, что точка X не принадлежит четырехугольнику ABCD:

P(X не принадлежит ABCD) = (площадь части ромба, не входящей в ABCD)/площадь всего ромба
= a^2(π/4 - 1/2)/a^2
= π/4 - 1/2

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка из ромба не принадлежит четырехугольнику ABCD, равна π/4 - 1/2 или около 0.2146.