Задача с района ВСОШ-2023 математик Федя изучает некое натуральное число N. Он утверждает, что при любом разбиении числа 4000 в сумму двух различных натуральных слагаемых число N делится ровно на одно из них.
Докажите, что он ошибается

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что число N такое, что при любом разбиении числа 4000 на два различных натуральных слагаемых, N делится на одно из них.

Рассмотрим разбиение 4000 на два различных натуральных слагаемых a и b, где a < b. Тогда N делится на a или на b.

Если N делится на a, то N = k * a, где k - натуральное число.

Так как a < b, то b = a + m, где m не равно 0.

Тогда N = k a = k (b - m) = k b - k m.

Так как N делится на b, то k b - k m делится на b.

Это возможно только в случае, если k * m делится на b, то есть k делится на b.

Но тогда b также делится на k, что противоречит условию задачи о различности слагаемых.

Следовательно, число N не может делиться одновременно на оба слагаемых a и b. Таким образом, утверждение Феди неверно.