Геометрия средние линии Две противоположные стороны шестиугольника параллельны и рав- ны. Докажите, что середины четы- рёх остальных его сторон являются вершинами параллелограмма. (рис.)
Докажите, что точка пересечения биссектрис углов при боковой стороне трапеции лежит на её средней линии.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим вершины шестиугольника как A, B, C, D, E, F, причем AB || EF и AB = EF.

Пусть M, N, P, Q - середины сторон CD, DE, AF, BC соответственно.

Так как AB || EF и AB = EF, то AM = MF (т.к. M - середина отрезка CD) и BN = NE (т.к. N - середина отрезка DE).

Также из свойств параллелограмма следует, что MN || EF и MN = 0.5 EF.
Аналогично, PQ || EF и PQ = 0.5 EF.

Таким образом, мы получаем, что MN || EF, PQ || EF, MN = PQ и середины MN и PQ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Для доказательства второго утверждения можно провести следующую логическую цепочку:

Пусть точка пересечения биссектрис углов при боковой стороне трапеции обозначается как X.Так как X лежит на биссектрисе угла трапеции, то угол AXB = угол DXC.Так как угол CXD - внутренний угол трапеции, то он равен углу AXB.Следовательно, треугольники AXB и CXD равны по двум сторонам и углу между ними, что означает, что они подобны.Из подобия треугольников следует, что отрезок XC параллелен и равен отрезку AB или AD.Таким образом, X лежит на средней линии трапеции, что и требовалось доказать.