Необходимо решить задачу Температура некоторого объекта в течение времени 1 = 4 часа снижается от значения t0 = 1200 оС до значения t1 = 390 оС. Температура охлаждающего воздуха tв = 15 оС. Через какое время после начала охлаждения температура изделия понизится до t2 = 70 оС?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи будем использовать закон Ньютона охлаждения:

t(t) = t0 + (tв - t0)e^(-kt),

где t(t) - температура объекта в момент времени t,
t0 - начальная температура объекта,
tв - температура охлаждающего воздуха,
k - коэффициент охлаждения,
e - число Эйлера (≈2,71828).

Для начального момента времени (t = 0) получаем:

1200 = 1200 + (15 - 1200) e^(-k0),
e^0 = 1,
15 - 1200 = -1185,
k = ln(-1185).

Для момента времени t = τ1 = 4 часа получаем:

390 = 1200 + (15 - 1200) e^(-k4),
390 - 1200 = -810 = -1185 e^(-4k),
e^(-4*k) = 810/1185 = 54/79.

Теперь находим время t2, при котором температура объекта будет равна 70 оС:

70 = 1200 + (15 - 1200) e^(-kt2),
70 - 1200 = -1130 = -1185 e^(-kt2),
e^(-k*t2) = 1130/1185 = 226/237.

Из двух уравнений найдем значение t2:

e^(-kt2) = (54/79)^((t2/4)),
(226/237) = (54/79)^((t2/4)),
(226/237) = (54/79)^(t2/4),
ln(226/237) = ln((54/79)^(t2/4)),
ln(226/237) = (t2/4) ln(54/79),
t2 = 4 * ln(226/237) / ln(54/79).

Подставляем значения и находим t2:

t2 ≈ 2,33 часа.

Ответ: Через примерно 2 часа и 20 минут после начала охлаждения температура объекта понизится до 70 оС.