Интеграл из книги эдуарда балаяна можно ли решить интеграл xdx\корень(2-0.5x) с нижним пределом -4 и верхним 2 без подстановки ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, этот интеграл можно решить без подстановки. Для этого сначала выразим корень в знаменателе через степень:

[ xdx \sqrt{2-0.5x} = xdx(2-0.5x)^{1/2} ]

Далее разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора в окрестности точки x=0. Получаем:

[ (2-0.5x)^{1/2} = (2-0.5x)^{1-0.5} = 2^{1-0.5} - 0.5 \cdot (1-0.5) \cdot x + O(x^2) ]

[ = 2^0 - 0.5x + O(x^2) = 1 - 0.5x ]

Теперь можем подставить наше выражение в интеграл:

[ \int{-4}^{2} xdx(2-0.5x)^{1/2} = \int{-4}^{2} xdx(1 - 0.5x) ]

[ = \int_{-4}^{2} (x - 0.5x^2)dx ]

[ = \left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3\right]_{-4}^{2} ]

[ = \left[\frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{6}(2)^3\right] - \left[\frac{1}{2}(-4)^2 - \frac{1}{6}(-4)^3\right] ]

[ = \left[2 - \frac{8}{3}\right] - \left[8 - \frac{64}{3}\right] ]

[ = \frac{2}{3} - \frac{56}{3} ]

[ = -\frac{54}{3} = -18 ]

Таким образом, значение данного интеграла равно -18.