Вычисли площад фигуры ограниченной линиями y=8x2? y=14 корень из x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=8x^2 и y=14√x, необходимо найти точки пересечения этих функций.

Сначала приравняем 8x^2 к 14√x:
8x^2 = 14√x

Решим это уравнение:
8x^2 = 14√x
8x^2 - 14√x = 0
2x(4x - 7√x) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x:
1) x = 0
2) 4x - 7√x = 0 => x = 49/16

Теперь найдем y для каждого значения x:
1) x = 0 => y = 140 = 0
2) x = 49/16 => y = 14√(49/16) = 14*7/4 = 49

Теперь мы знаем, что фигура ограничена осью x и значениями x=0 и x=49/16. Найдем площадь этой фигуры, проинтегрировав разность уравнений y=8x^2 и y=14√x по x от 0 до 49/16:

S = ∫[0, 49/16] (8x^2 - 14√x)dx
S = ∫[0, 49/16] (8x^2 - 14x^(1/2))dx
S = [8(1/3)x^3 - 14(2/3)x^(3/2)] [0, 49/16]
S = [(8/3)(49/16)^3 - (142/3)*(49/16)^(3/2)] - 0
S ≈ 596.33

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=8x^2 и y=14√x, составляет примерно 596.33 квадратных единиц.