Задача по геометрии.. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 8, перпендикулярна основаниям AD = 4 и BC = 16. Найдите сумму градусных мер углов B и D трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем высоту трапеции. Пусть h - высота трапеции. Так как BD перпендикулярна основаниям, получаем два прямоугольных треугольника внутри трапеции. В одном из них высота - это катет, а в другом - гипотенуза
Сначала рассмотрим треугольник ABD. Применяем теорему Пифагора
AD^2 + h^2 = BD^
4^2 + h^2 = 8^
16 + h^2 = 6
h^2 = 64 - 1
h^2 = 4
h = √4
h = 4√3

Теперь рассмотрим треугольник BCD
BC^2 = BD^2 + h^
16^2 = 8^2 + h^
256 = 64 + h^
h^2 = 19
h = √19
h = 8√3

Далее найдем тангенс угла B трапеции
tg(B) = h / (BC - AD
tg(B) = 4√3 / (16 - 4
tg(B) = 4√3 / 1
tg(B) = √3 / 3

Из определения тангенса угла следует, что tg(B) = tg(90° - B), следовательно, B = 60°, так как tg(60°) = √3.

Для угла D аналогично
tg(D) = h / (BC + AD
tg(D) = 4√3 / (16 + 4
tg(D) = 4√3 / 2
tg(D) = √3 /
tg(D) = tg(90° - D), откуда D = 30°.

Итак, сумма градусных мер углов B и D трапеции равна 60° + 30° = 90°.