Все стороны и все углы пятиугольника равны. Докажите, что равны все его
диагонали. Все стороны и все углы пятиугольника равны. Докажите, что равны все его
диагонали.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим вершины пятиугольника как A, B, C, D, E, а их диагонали как AC, AD, AE, BC, BD, BE.

Из условия известно, что все стороны и все углы пятиугольника равны, значит, он является правильным пятиугольником. Таким образом, пятиугольник ABCDE - правильный пятиугольник.

Для доказательства равенства всех диагоналей построим равнобедренный треугольник AEC и равнобедренный треугольник BCD.

Треугольник AEC:
AC = AE (стороны правильного пятиугольника равны),
∠A = ∠E (углы правильного пятиугольника равны),
AC = AE(стороне равноугольного треугольника),
Таким образом, треугольник AEC равнобедренный.

Треугольник BCD аналогично равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник ACE и треугольник BCD.
AC = AE (стороны треугольников равны),
∠A = ∠E (углы треугольников равны),
∠C = ∠C (общий угол),
Из свойств равнобедренных треугольников следует, что треугольники ACE и BCD равны.

Таким образом, диагонали AE и AC равны, и аналогично докажется равенство всех остальных диагоналей пятиугольника.